Número primitivo

En teoría de números recreativa, un número primitivo ("primeval number" en inglés) es un número natural n para el cual el número de números primos que se pueden obtener permutando algunas o todos sus dígitos (en base 10) es mayor que el número de primos obtenible de la misma manera para cualquier número natural más pequeño. Los números primitivos fueron descritos por primera vez por Mike Keith.[1]

Ejemplos

Los primeros números primitivos son

1, 2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1037, 1079, 1237, 1367, 1379, 10079, 10123, 10136, 10139, 10237, 10279, 10367, 10379, 12379, 13679, ... (sucesión A072857 en OEIS)

El número de primos que se pueden obtener de los números primos es

0, 1, 3, 4, 5, 7, 11, 14, 19, 21, 26, 29, 31, 33, 35, 41, 53, 55, 60, 64, 89, 96, 106, ... (sucesión A076497 en OEIS)

El mayor número de primos que se pueden obtener de un número primo con n dígitos es

1, 4, 11, 31, 106, 402, 1953, 10542, 64905, 362451, 2970505, ... (sucesión A076730 en OEIS)

El número más pequeño de n dígitos para lograr este número de números primos es

2, 37, 137, 1379, 13679, 123479, 1234679, 12345679, 102345679, 1123456789, 10123456789, ... (sucesión A134596 en OEIS)

Los números primitivos pueden ser compuestos. El primero es 1037 = 17×61. Un primo primitivo es un número primitivo que también es un número primo:

2, 13, 37, 107, 113, 137, 1013, 1237, 1367, 10079, 10139, 12379, 13679, 100279, 100379, 123479, 1001237, 1002347, 1003679, 1012379, ...

(sucesión A119535 en OEIS)

La siguiente tabla muestra los siete primeros números primos con los primos obtenibles y el número de ellos.

Número primitivo	Primos obtenidos	Número de primos
1		0
2	2	1
13	3, 13, 31	3
37	3, 7, 37, 73	4
107	7, 17, 71, 107, 701	5
113	3, 11, 13, 31, 113, 131, 311	7
137	3, 7, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 137, 173, 317	11

Base 12

En base 12, los números primitivos son: (usando dos y tres invertidos para diez y once, respectivamente)

1, 2, 13, 15, 57, 115, 117, 125, 135, 157, 1017, 1057, 1157, 1257, 125Ɛ, 157Ɛ, 167Ɛ, ...

El número de primos que se pueden obtener de los números primitivos es: (escrito en base 10)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 20, 23, 27, 29, 33, 35, ...

Número primitivo	Primos obtenidos	Número de primos (escrito en base 10)
1		0
2	2	1
13	3, 31	2
15	5, 15, 51	3
57	5, 7, 57, 75	4
115	5, 11, 15, 51, 511	5
117	7, 11, 17, 117, 171, 711	6
125	2, 5, 15, 25, 51, 125, 251	7
135	3, 5, 15, 31, 35, 51, 315, 531	8
157	5, 7, 15, 17, 51, 57, 75, 157, 175, 517, 751	11

Téngase en cuenta que en base 12, los números 13, 115 y 135 son compuestos: 13 = 3×5, 115 = 7×1Ɛ, y 135 = 5×31.

Véase también

Referencias

Paolo Pietro Lava, Giorgio Balzarotti. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (en italiano). HOEPLI EDITORE. pp. 217 de 400. ISBN 9788820358044. Consultado el 28 de septiembre de 2022.

Bibliografía

Chris Caldwell, The Prime Glossary: ??Primeval number en The Prime Pages
Mike Keith, Enteros que contienen muchos números primos incrustados

Datos: Q2743467

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[PPLGB-1] Paolo Pietro Lava, Giorgio Balzarotti. 103 curiosità matematiche: Teoria dei numeri, delle cifre e delle relazioni nella matematica contemporanea (en italiano). HOEPLI EDITORE. pp. 217 de 400. ISBN 9788820358044. Consultado el 28 de septiembre de 2022.