Inmanente (matemáticas)

El determinante es un caso especial del inmanente, donde ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ es el carácter alternante ${\displaystyle \operatorname {sgn} }$, de S_n, definido por la paridad de una permutación.

El permanente es el caso donde ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$ es el carácter trivial, que es idénticamente igual a 1.

Por ejemplo, para las matrices ${\displaystyle 3\times 3}$, hay tres representaciones irreducibles de ${\displaystyle S_{3}}$, como se muestra en la tabla de caracteres:

${\displaystyle S_{3}}$	${\displaystyle e}$	${\displaystyle (1\ 2)}$	${\displaystyle (1\ 2\ 3)}$
${\displaystyle \chi _{1}}$	1	1	1
${\displaystyle \chi _{2}}$	1	−1	1
${\displaystyle \chi _{3}}$	2	0	−1

Como se indicó anteriormente, ${\displaystyle \chi _{1}}$ produce el permanente y ${\displaystyle \chi _{2}}$ produce el determinante, pero ${\displaystyle \chi _{3}}$ produce la operación que aplica los valores de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}}$

El inmanente comparte varias propiedades con el determinante y el permanente. En particular, el inmanente es multilineal en las filas y columnas de la matriz; y el inmanente es invariante ante permutaciones simultáneas de las filas o columnas por el mismo elemento del grupo simétrico.

Littlewood y Richardson estudiaron la relación del inmanente con las funciones de Schur en la teoría de la representación del grupo simétrico.[3]

Las condiciones necesarias y suficientes para que el inmanente de una matriz de Gram sea ${\displaystyle 0}$ vienen dadas por el teorema de Gamas.

• D. E. Littlewood; A.R. Richardson (1934). «Group characters and algebras». Philosophical Transactions of the Royal Society A 233 (721–730): 99-124. doi:10.1098/rsta.1934.0015.
• D. E. Littlewood (1950). The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (2nd edición). Oxford Univ. Press (reprinted by AMS, 2006). p. 81.