Espacio vectorial topológico ordenado

Si C es un cono en un EVT ${\displaystyle X}$, entonces C es normal si ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\left[{\mathcal {U}}\right]_{C}}$, donde ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ es el filtro de entornos en el origen, ${\displaystyle \left[{\mathcal {U}}\right]_{C}=\left\{\left[U\right]:U\in {\mathcal {U}}\right\}}$ y ${\displaystyle [U]_{C}:=\left(U+C\right)\cap \left(U-C\right)}$ es el entorno C-saturado de un subconjunto ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle X}$. [2]

Si C es un cono en un EVT ${\displaystyle X}$ (sobre los números reales o complejos), entonces los siguientes enunciados son equivalentes:[2]

1. C es un cono normal.
2. Para cada filtro ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ en ${\displaystyle X}$, si ${\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=0}$ entonces ${\displaystyle \lim \left[{\mathcal {F}}\right]_{C}=0}$.
3. Existe una base de entornos ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ implica que ${\displaystyle \left[B\cap C\right]_{C}\subseteq B}$.

y si ${\displaystyle X}$ es un espacio vectorial sobre los números reales, entonces también:[2]

1. Existe una base de entornos en el origen que consta de conjuntos convexos, equilibrados y C-saturados.
2. Existe una familia generadora ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ de semi-normas en ${\displaystyle X}$ tal que ${\displaystyle p(x)\leq p(x+y)}$ para todos los ${\displaystyle x,y\in C}$ y ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$.

Si la topología en ${\displaystyle X}$ es localmente convexa, entonces el cierre de un cono normal es un cono normal.[2]

• Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial ordenado sobre los números reales que es de dimensión finita. Entonces, el orden de ${\displaystyle X}$ es arquimediano si y solo si el cono positivo de ${\displaystyle X}$ está cerrado para la topología única bajo la cual ${\displaystyle X}$ es un EVT de Hausdorff.[1]
• Sea ${\displaystyle X}$ un espacio vectorial ordenado sobre los reales con cono positivo C. Entonces, los siguientes enunciados son equivalentes:[1]

1. El orden de ${\displaystyle X}$ es regular.
2. C se cierra secuencialmente para alguna topología de un EVT localmente convexo de Hausdorff en ${\displaystyle X}$; y ${\displaystyle X^{+}}$ distingue puntos en ${\displaystyle X}$
3. El orden de ${\displaystyle X}$ es arquimediano, y C es normal para algunas topologías de un EVT localmente convexo de Hausdorff en ${\displaystyle X}$.

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM 8 (Second edición). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.