Conjunto simétrico

En notación de conjuntos, un subconjunto ${\displaystyle S}$ de un grupo ${\displaystyle G}$ se llama simétrico si siempre que ${\displaystyle s\in S}$ entonces el inverso de ${\displaystyle s}$ también pertenece a ${\displaystyle S}$.

En consecuencia, si ${\displaystyle G}$ se escribe multiplicativamente, entonces ${\displaystyle S}$ es simétrico si y solo si ${\displaystyle S=S^{-1}}$ donde ${\displaystyle S^{-1}:=\left\{s^{-1}:s\in S\right\}}$.

Si ${\displaystyle G}$ se escribe de forma aditiva, entonces ${\displaystyle S}$ es simétrico si y solo si ${\displaystyle S=-S}$ donde ${\displaystyle -S:=\{-s:s\in S\}.}$

Si ${\displaystyle S}$ es un subconjunto de un espacio vectorial, entonces se dice que ${\displaystyle S}$ es un conjunto simétrico si es simétrico con respecto a la estructura de grupo aditivo del espacio vectorial; es decir, si ${\displaystyle S=-S}$, lo que sucede si y solo si ${\displaystyle -S\subseteq S}$. La envolvente simétrica de un subconjunto ${\displaystyle S}$ es el conjunto simétrico más pequeño que contiene a ${\displaystyle S}$, y es igual a ${\displaystyle S\cup -S.}$. El conjunto simétrico más grande contenido en ${\displaystyle S}$ es ${\displaystyle S\cap -S}$.

Las uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos simétricos son simétricas.

Cualquier subespacio vectorial en un espacio vectorial es un conjunto simétrico.

En ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ejemplos de conjuntos simétricos son los intervalos del tipo ${\displaystyle (-k,k)}$ con ${\displaystyle k>0,}$ y los conjuntos ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ y el intervalo ${\displaystyle (-1,1)}$.

Si ${\displaystyle S}$ es cualquier subconjunto de un grupo, entonces ${\displaystyle S\cup S^{-1}}$ y ${\displaystyle S\cap S^{-1}}$ son conjuntos simétricos.

Cualquier subconjunto equilibrado de un espacio vectorial real o complejo es simétrico.

• Conjunto absolutamente convexo
• Conjunto absorbente
• Función equilibrada
• Conjunto equilibrado
• Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
• Convexidad
• Funcional de Minkowski
• Dominio en estrella

• R. Cristescu, "Topological vector spaces" (Espacios vectoriales topológicos), Noordhoff International Publishing, 1977.
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